第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
1映射
2函数
第二节 数列的极限
1数列极限的定义
定义：
2收敛数列的性质
- 定理1（极限的唯一性）
- 定理2（收敛数列的有界性）
- 定理3（收敛数列的保号性）
推论
- 定理4（收敛数列与其子数列间的关系）
第三节 函数的极限
1函数极限的定义
- 定义1
- 定义2
2函数极限的性质
- 定理1（函数极限的唯一性）
- 定理2（函数极限的局部有界性）
- 定理3（函数极限的局部保号性）
定理3'
推论
- 定理4（函数极限与数列极限的关系）
第四节 无穷小与无穷大
1无穷小
- 定义1
- 定理1
2无穷大
- 定义2
- 定理2
第五节 极限运算法则
- 定理1：两个无穷小的和是无穷小
- 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小
- 定理3：如果limf(x)=A,limf(x)=B,那么
（1）
（2）
（3）
推论1：
推论2：
- 定理4：设有数列{xn}和{yn},如果limxn=A,limyn=B,那么
（1）
（2）
（3）
- 定理5：
- 定理6（复合函数的极限运算法则）
第六节 极限存在准则与两个重要极限
- 准则1：如果数列__,__及__满足下列条件
（1）
（2）
那么数列__的极限存在，且___
准则1'
- 准则2：单调有界数列必有极限
准则2'
柯西极限存在准则
第七节 无穷小的比较
- 定义
高阶的无穷小
低阶的无穷小
同阶无穷小
k阶无穷小
等价无穷小
- 定理1
- 定理2
第八节 函数的连续性与间断点
1函数的连续性
- 定义
（1）
（2）
2函数的间断点
- 不连续点或间断点
- 无穷间断点
- 震荡间断点
- 可去间断点
- 跳跃间断点
- 第一类间断点
- 第二类间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
1连续函数的和、差、积、商的连续性
- 定理1
2反函数与复合函数的连续性
- 定理2
- 定理3
- 定理4
3初等函数的连续性
第十节 闭区间上连续函数的性质
1有界性与最大值最小值定理
- 定理1（有界性与最大值最小值定理）
2零点定理与介值定理
- 定理2（零点定理）
- 定理3（介值定理）
推论
3一致连续性
- 定义
- 定理4（一致连续性定理）
第二章 导数与微分
第一节 导数概念
1引例
2导数的定义
- 定义
3导数的几何意义
4函数可导性与连续性的关系
第二节 函数的求导法则
1函数的和、差、积、商的求导法则
- 定理1
（1）
（2）
（3）
2反函数的求导法则
- 定理2
3复合函数的求导法则
- 定理3
4基本求导法则与导数公式
- 常数和基本初等函数的导数公式
- 函数的和、差、积、商的求导法则
- 反函数的求导法则
- 复合函数的求导法则
第三节 高阶导数
一阶导数
二阶导数
三阶导数
n阶导数
n阶可导 高阶导数
莱布尼茨公式
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
1隐函数的导数
2由参数方程所确定的函数的导数
3相关变化率
第五节 函数的微分
1微分的定义
- 定义
2微分的几何意义
3基本初等函数的微分公式与微分运算法则
- 基本初等函数的微分公式
- 函数的和、差、积、商的微分法则
- 复合函数的微分法则
4微分在近似计算中的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
1罗尔定理
- 费马引理
- 罗尔定理
（1）
（2）
（3）
2拉格朗日中值定理
- 拉格朗日中值定理
（1）
（2）
- 定理
3柯西中值定理
- 柯西中值定理
（1）
（2）
（3）
第二节 洛必达法则
- 定理1
（1）
（2）
（3）
- 定理2
（1）
（2）
（3）
第三节 泰勒公式
- 泰勒中值定理1
- 泰勒中值定理2
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
1函数单调性的判定法
- 定理1
2曲线的凹凸性与拐点
- 定理2
第五节 函数的极值与最大值最小值
1函数的极值及其求法
- 定义
- 定理1（必要条件）
- 定理2（第一充分条件）
(1)
(2)
(3) - 定理3 (第二充分条件)
(1)
(2)
2最大值最小值问题
第六节 函数图形的描绘
- 确定函数定义域及一些特性
- 求一阶导二阶导定义域内零点,$f(x)$间断点,$f'(x)$和$f''(x)$不存在的点
- 确定区间内$f'(x)$和$f'(x)$的符号,得到函数的升降,凹凸和拐点.
- 确定函图形水平,铅直渐近线以及其他变化趋势
- 算出$f'(x)$和$f''(x)$的零点以及不存在的点对应的函数值,描绘图形
曲率
弧微分
曲率及其计算公式
曲率圆与曲率半径
曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
方程的近似解
1二分法
2切线法
3割线法
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念和性质
1原函数与不定积分的概念
- 定义1(连续函数一定有原函数)
- 定义2
2基本积分表
3不定积分的性质
- 性质1
- 性质2
第二节 换元积分法
1第一类换元法
- 定理1
2第二类换元法
- 定理2
第三节 分部积分法
*分部积分公式
第四节 有理函数的积分
1有理函数的积分
第五节 积分表的使用
第五章 定积分
定积分的概念与性质
1定积分问题举例
- 曲边梯形的面积
- 变速直线运动的路程
2定积分的定义
- 定义
- 定理1
- 定理2
3定积分的近似计算
4定积分的性质
- 性质1
- 性质2
- 性质3
- 性质4
- 推论1
- 推论2
- 性质5
- 性质6(定积分中值定理)
第二节 微积分基本公式
1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
2积分上限的函数及其导数
- 定理1
- 定理2
3牛顿莱布尼茨公式
- 定理3(微积分基本定理)
第三节定积分的换元法和分部积分法
1定积分的换元法
- 定理
(1)
(2)
2定积分的分部积分法
第四节 反常积分
1无穷限的反常积分
- 定义1
(1)
(2)
(3)
2无界函数的反常积分
- 定义2
(1)
(2)
(3)
第五节 反常积分的审敛法
1无穷限反常积分的审敛法
- 定理1
- 定理2(比较审敛原理)
- 定理3(比较审敛法1)
- 定理4(极限审敛法1)
- 定理5
2无界函数的反常积分的审敛法
- 定理6(比较审敛法2)
- 定理7(极限审敛法2)
3r函数
第六章 定积分的应用
1定积分的元素法
2定积分在几何学上的应用
1平面图形的面积
- 直角坐标情形
- 极坐标情形
2体积
- 旋转体的体积
- 平行截面面积为已知的立体的体积
3平面曲线的弧长
- 定理
第三节 定积分在物理学上的应用
1变力沿直线所作的功
2水压力
3引力
第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第二节 可分离变量的微分方程
第三节 齐次方程
1齐次方程
2可化为齐次的方程
第四节 一阶线性微分方程
1线性方程
2伯努利方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
1$y^{(n)} =f(x)$型的微分方程
2$y^{n}=f(x,y')$型的微分方程
3y^n =f(y,y')型的微分方程
第六章 高阶线性微分方程
1二阶线性微分方程举例
2线性微分方程解的结构
- 定理1
- 定理2
- 推论
- 定理3
- 定理4
3常数变易法
第七节 常系数齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程
1$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$型
2$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x)+Q_n\sin(\omega x)]$型
第九节 欧拉方程
第十节 常系数线性微分方程组解法举例
第八章 向量代数与空间解析几何
略
第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
1平面点集 n维空间
- 平面点集
- n维空间
2多元函数的概念
- 定义1
3多元函数的极限
- 定义2
4多元函数的连续性
-
定义3
-
定义4
-
性质1(有界性与最大值最小值定理)
-
性质2(介值定理)
-
性质3(一致连续性定理)
第二节 偏导数
1偏导数的定义及其计算法
- 定义
2高阶偏导数
- 定理
第三节 全微分
1全微分的定义
- 定义
- 定理1(必要条件)
- 定理2(充分条件)
2全微分在近似计算中的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
- 一元函数与多元函数复合的情形
- 定理1
- 多元函数与多元函数复合的情形
- 定理2
- 其他情形
- 定理3
第五节 隐函数的求导公式
1一个方程的情形
- 隐函数存在定理1
- 隐函数存在定理2
2方程组的情形
- 隐函数存在定理3
第六节 多元函数微分学的几何应用
1一元向量值函数及其导数
- 定义1
- 定义2
- 定义3
2空间曲线的切线与法平面
3曲面的切平面与法线
第七节 方向导数与梯度
1方向导数
- 定理
2梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
1多元函数的极值及最大值与最小值
- 定义
- 定理1(必要条件)
- 定理2(充分条件)
(1)
(2)
(3)
2条件极值 拉格朗日乘数法
第九节 二元函数的泰勒公式
1 二元函数的泰勒公式
- 定理
- 推论
2极值充分条件的证明
第十节 最小二乘法
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1二重积分的概念
- 曲顶柱体的体积
- 平面薄片的质量
- 定义
2二重积分的性质
- 性质1
- 性质2
- 性质3
- 性质4
- 性质5
- 性质6(二重积分的中值定理)
第二节 二重积分的计算法
1利用直角坐标计算二重积分
2利用极坐标计算二重积分
3二重积分的换元法
- 定理
(1)
(2)
(3)